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新聞詳情
繪圖基礎(chǔ)課程之投影變換
來(lái)源：ouger 作者：ouger 發(fā)布：2012-11-15 修改：2012-11-15
隸屬：工程制圖桌相關(guān)知識(shí) 點(diǎn)擊：3997
投影變換
概述
當(dāng)幾何元素相對(duì)投影面處于一般位置時(shí)，要解決其定位(如求交點(diǎn)、交線(xiàn)等)及度量(如確定距離、角度、實(shí)形等)問(wèn)題時(shí)，其作圖就比較煩瑣。而當(dāng)其處于特殊位置時(shí)，問(wèn)題就容易獲得解決(圖5-1)。投影變換就是要研究如何改變空間幾何元素對(duì)投影面的相對(duì)位置，以達(dá)到簡(jiǎn)化解題的目的。
投影變換的方法有更換投影面法及旋轉(zhuǎn)法兩種。本章僅介紹更換投影面法，簡(jiǎn)稱(chēng)換面法。
更換投影面法
基本概念
更換投影面法是保持空間幾何元素的位置不動(dòng)，而用新的投影面代替原來(lái)的投影面，使空間幾何元素對(duì)新投影面處于有利解題的位置。
圖5-2表示一鉛垂面△ABC，該三角形在V、H兩投影面體系(以后簡(jiǎn)稱(chēng)V1/H體系)中的兩個(gè)投影都不反映實(shí)形。假如取一平行于三角形的V1面來(lái)代替V面，則V1面和H面構(gòu)成一個(gè)新的兩投影面體系V1/H。三角形在V1/H體系中的投影a1'b1'c1'就反映三角形的實(shí)形。再以V1面和H面的交線(xiàn)X1 (投影軸)為軸，使V1面旋轉(zhuǎn)至與H面重合，就得出V1/H體系的投影圖。原來(lái)的V面稱(chēng)為舊投影面，H面稱(chēng)為不變投影面，V1面稱(chēng)為新投影面；原來(lái)的投影軸X稱(chēng)為舊軸，X1稱(chēng)為新軸；a'b'c'稱(chēng)為舊投影，abc稱(chēng)為不變投影，a1'b1'c1'稱(chēng)為新投影。
必須指出，新投影面是不能任意選擇的，它的選擇一定要符合以下兩個(gè)基本條件：
（1）、新投影面必須垂直于不變投影面，以構(gòu)成一個(gè)新的兩投影面體系；
（2）、新投影面必須對(duì)空間幾何元素處于有利于解題的位置。
以下分別研究點(diǎn)、直線(xiàn)、平面在更換投影面時(shí)，新舊投影的關(guān)系和作圖問(wèn)題。
點(diǎn)的變換
點(diǎn)是基本的幾何元素，應(yīng)首先了解點(diǎn)在更換投影面時(shí)，新舊投影的關(guān)系。
圖5-3a表示點(diǎn)A在V/H體系中的兩個(gè)投影a和a'�，F(xiàn)在取一個(gè)鉛垂面V1來(lái)代替V面作為新的正投影面，以形成新的兩投影面體系V1/H。
由點(diǎn)A向V1面作垂線(xiàn)，其垂足a1'即為點(diǎn)A的新的正面投影。再使V1面繞新軸X1旋轉(zhuǎn)至與H面重合，則a和a'兩點(diǎn)一定在X1軸的同一垂線(xiàn)上。
由于V/H體系和V1/H體系具有公共的H面，因此點(diǎn)A到H面的距離(即Z坐標(biāo))在這兩個(gè)兩投影面體系中都是相同的，即a'ax=Aa=a1'ax1。
因此，在投影圖(圖5-3b)上，先畫(huà)出新投影軸X1，然后由點(diǎn)a向X1軸作垂線(xiàn)，使與X1軸相交點(diǎn)ax1。再在此垂線(xiàn)上取一點(diǎn)a1'，使a1'ax1=a'ax，點(diǎn)a1'即為點(diǎn)A的新正面投影。
以上為更換V面的情形。當(dāng)有必要時(shí)，也可更換H面，即用H1代替H，從而建立起新的V/H1體系(圖5-4)。其分析、作圖方法同上。
由以上可知，在更換投影面時(shí)，點(diǎn)在新、舊兩投影面體系中的投影具有如下規(guī)律：
（1）. 新投影與不變投影之間的連繞垂直于新投影軸；
（2）. 新投影到新軸的距離等于舊投影到舊軸的距離。
以上在更換V面或更換H面時(shí)，都是將原來(lái)的兩個(gè)投影面H、V中更換一個(gè)而保留另外一個(gè)，所以稱(chēng)為更換一次由于面。
但在更換投影面法中，有時(shí)更換一次還不能解決問(wèn)題，這時(shí)必須更換兩次或更多次。
在更換兩個(gè)或兩個(gè)以上的投影面時(shí)，點(diǎn)的新投影的求法與更換一個(gè)投影面時(shí)完全相同。但必須指出，V面和H面必須交替更換。
圖5-5所示為把V/H體系經(jīng)過(guò)V1/H體系而更換為V1/H1體系(有時(shí)更換的方式為V/H→V/H1→V1/H1)的情況。
直線(xiàn)的變換
直線(xiàn)是由兩個(gè)點(diǎn)所決定的，因此，在更換直線(xiàn)的投影時(shí)，只要把直線(xiàn)上的任意兩個(gè)點(diǎn)的投影加以變換，即可求得直線(xiàn)的新投影。
1. 將一般位置直線(xiàn)變換為新投影面的平行線(xiàn)
如圖5-6a所示，取V1平行于AB且垂直于H面，則在新體系V1/H中，AB就成為了正平線(xiàn)。只要注意到V1面距AB的距離是任意的，X1平行于ab,則可按變換規(guī)律求出直線(xiàn)的新投影，從而得到直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)和α角。
圖5-7為求直線(xiàn)AB的實(shí)長(zhǎng)和其β角的作圖過(guò)程。
2. 將投影面平行線(xiàn)變?yōu)樾峦队懊娴拇怪本�(xiàn)
要將投影面平行線(xiàn)AB變?yōu)樾峦队懊娴拇怪本�(xiàn)，則新投影面H1必須與AB垂直，在V/H1體系中，AB就成了垂直線(xiàn)。
如圖5-8a所示，要將正平線(xiàn)AB變?yōu)榇怪本�(xiàn)，則新投影面H1必須與AB垂直。這樣，在V/H1體系中，AB就成了鉛垂線(xiàn)。
在投影圖(圖5-8b)上，作X1垂直于a'b'，然后求出AB在H1面上的新投影a'b'。
3.將一般位置直線(xiàn)變換為新投影面的垂線(xiàn)
如果要將一般位置直線(xiàn)變換為新投影面的垂直線(xiàn)，想用更換一次投影面來(lái)解決是不可能的。因?yàn)�，如果直接作一投影面使之垂直于直線(xiàn)AB，則此投影面一定也為一般位置平面，而與任一原有投影面不能構(gòu)成直角投影體系。為了解決這個(gè)問(wèn)題，必須更換兩次投影面：首先使直線(xiàn)AB變換為一個(gè)新投影面的平行線(xiàn)，然后再變換為另一新投影面的垂直線(xiàn)。作圖過(guò)程如圖5-9所示。
平面的變換
平面是由不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)(或其他幾何元素組合)決定的，因此在更換投影面時(shí)，只需把決定平面的幾何元素的投影加以變換，即可求得平面的新投影。
1.將一般位置平面變換為新投影面的垂直面
如圖5-10所示，要將一般位置平面變換為新投影面的垂直面，則所選的新投影面既要垂直于該一般位置平面，又要與舊體系中某一投影面垂直。為此，可將該一般位置平面內(nèi)的一條投影面平行線(xiàn)變換成新體系中的垂直線(xiàn)，則該一般位置平面必然隨之變?yōu)橥队懊娴拇怪泵妗?/span>
2.將投影面垂直面變換為新投影面的平行面
若要將投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻�，則需選新投影面與該垂直面平行即可（在投影圖上表現(xiàn)為新軸與該垂直面的積聚性投影平行）。作圖過(guò)程如圖5-11所示。
3.將一般位置平面變換為新投影的平行面
要將一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻�，必須更換兩次投影面。即先把它變成一個(gè)新投影面的垂直面，再變?yōu)榱硪粋�(gè)新投影面的平行面。其作圖方法如圖5-12和圖5-13所示。
應(yīng)用舉例
例5-1. 求△ABC與△BCD的真實(shí)夾角 (如圖5-14a)。
圖5-14
分析：觀察圖5-14b，當(dāng)兩平面同時(shí)垂直于一個(gè)投影面時(shí)，在該投影面上的投影就反映出兩平面的真實(shí)夾角。要使兩平面同時(shí)變換為新投影面的垂直面，必須把它們的交線(xiàn)變換為新投影面的垂直線(xiàn)。因其交線(xiàn)BC為正平線(xiàn)，故只需要更換一次投影面，在V/H1體系中將BC變換為垂直線(xiàn)，∠a1c1d1即反映△ABC與△BCD的真實(shí)夾角。
作圖：
（1） 取X1⊥b1c1;
（2） 一次變換求得θ角。
例5-2. 圖5-15a給出了兩輸油管軸線(xiàn)AB與CD的位置，今要在兩管距離最近處將它們連接起來(lái)，求連接點(diǎn)的位置及連接管的長(zhǎng)度。
圖5-15
分析：我們把兩輸油管線(xiàn)AB、CD看作空間交叉兩直線(xiàn)，最短距離為其公垂線(xiàn)。
觀察圖5-15b，我們?nèi)魧山徊嬷本�(xiàn)之一(如CD),變?yōu)樾峦队懊娴拇怪本�(xiàn)，則公垂線(xiàn)KL必平行新投影面，其新投影反映真長(zhǎng)，且與另一直線(xiàn)AB在新投影面上的投影反映直角。作圖(圖5-15a):
（1）、更換兩次投影面，即先將直線(xiàn)CD在V1/H體系中變?yōu)?i>V1面的平行線(xiàn)，再在V1/H1體系中變?yōu)?i>H1面的垂直線(xiàn)，直線(xiàn)AB也隨之作相應(yīng)的變換；
（2）、過(guò)C1 (亦即d1)作k1l1⊥a1b1，k1l1即為公垂線(xiàn)KL在H1面上的投影。根據(jù)k1l1再返回作圖，求出KL在H、V面上的投影(k l,k'l')。K(k,k')及L(l,l')為兩油管距離最近的連接點(diǎn)，k1l1 表示連接管的長(zhǎng)度。
歐格實(shí)驗(yàn)設(shè)備有限公司，專(zhuān)業(yè)生產(chǎn)繪圖設(shè)備http://www.purchasetopayautomation.com/zhituzhuo.html
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