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 更換投影面法

基本概念

更換投影面法是保持空間幾何元素的位置不動，而用新的投影面代替原來的投影面，使空間幾何元素對新投影面處于有利解題的位置。

圖5-2表示一鉛垂面△ABC，該三角形在V、H兩投影面體系(以后簡稱V₁/H體系)中的兩個投影都不反映實形。假如取一平行于三角形的V₁面來代替V面，則V₁面和H面構(gòu)成一個新的兩投影面體系V₁/H。三角形在V₁/H體系中的投影a₁'b₁'c₁'就反映三角形的實形。再以V₁面和H面的交線X₁ (投影軸)為軸，使V₁面旋轉(zhuǎn)至與H面重合，就得出V₁/H體系的投影圖。原來的V面稱為舊投影面，H面稱為不變投影面，V₁面稱為新投影面；原來的投影軸X稱為舊軸，X₁稱為新軸；a'b'c'稱為舊投影，abc稱為不變投影，a₁'b₁'c₁'稱為新投影。

必須指出，新投影面是不能任意選擇的，它的選擇一定要符合以下兩個基本條件：

（1）、新投影面必須垂直于不變投影面，以構(gòu)成一個新的兩投影面體系；

（2）、新投影面必須對空間幾何元素處于有利于解題的位置。

以下分別研究點、直線、平面在更換投影面時，新舊投影的關(guān)系和作圖問題。

點的變換

點是基本的幾何元素，應(yīng)首先了解點在更換投影面時，新舊投影的關(guān)系。

圖5-3a表示點A在V/H體系中的兩個投影a和a'�，F(xiàn)在取一個鉛垂面V₁來代替V面作為新的正投影面，以形成新的兩投影面體系V₁/H。

由點A向V1面作垂線，其垂足a₁'即為點A的新的正面投影。再使V₁面繞新軸X₁旋轉(zhuǎn)至與H面重合，則a和a'兩點一定在X₁軸的同一垂線上。

由于V/H體系和V₁/H體系具有公共的H面，因此點A到H面的距離(即Z坐標)在這兩個兩投影面體系中都是相同的，即a'a_x=Aa=a₁'a_x1。

因此，在投影圖(圖5-3b)上，先畫出新投影軸X₁，然后由點a向X₁軸作垂線，使與X₁軸相交點ax₁。再在此垂線上取一點a₁'，使a₁'a_x1=a'a_x，點a₁'即為點A的新正面投影。

以上為更換V面的情形。當有必要時，也可更換H面，即用H₁代替H，從而建立起新的V/H₁體系(圖5-4)。其分析、作圖方法同上。

由以上可知，在更換投影面時，點在新、舊兩投影面體系中的投影具有如下規(guī)律：

（1）. 新投影與不變投影之間的連繞垂直于新投影軸；

（2）. 新投影到新軸的距離等于舊投影到舊軸的距離。

以上在更換V面或更換H面時，都是將原來的兩個投影面H、V中更換一個而保留另外一個，所以稱為更換一次由于面。

但在更換投影面法中，有時更換一次還不能解決問題，這時必須更換兩次或更多次。

在更換兩個或兩個以上的投影面時，點的新投影的求法與更換一個投影面時完全相同。但必須指出，V面和H面必須交替更換。

圖5-5所示為把V/H體系經(jīng)過V₁/H體系而更換為V₁/H₁體系(有時更換的方式為V/H→V/H₁→V₁/H₁)的情況。

直線的變換

直線是由兩個點所決定的，因此，在更換直線的投影時，只要把直線上的任意兩個點的投影加以變換，即可求得直線的新投影。

1. 將一般位置直線變換為新投影面的平行線

如圖5-6a所示，取V₁平行于AB且垂直于H面，則在新體系V₁/H中，AB就成為了正平線。只要注意到V₁面距AB的距離是任意的，X₁平行于ab,則可按變換規(guī)律求出直線的新投影，從而得到直線的實長和α角。

圖5-7為求直線AB的實長和其β角的作圖過程。

2. 將投影面平行線變?yōu)樾峦队懊娴拇怪本�

要將投影面平行線AB變?yōu)樾峦队懊娴拇怪本� ， 則新投影面H₁必須與AB垂直，在V/H₁體系中，AB就成了垂直線。

如圖5-8a所示，要將正平線AB變?yōu)榇怪本�，則新投影面H₁必須與AB垂直。這樣，在V/H₁體系中，AB就成了鉛垂線。

在投影圖(圖5-8b)上，作X₁垂直于a'b'，然后求出AB在H₁面上的新投影a'b'。

3.將一般位置直線變換為新投影面的垂線

如果要將一般位置直線變換為新投影面的垂直線，想用更換一次投影面來解決是不可能的。因為，如果直接作一投影面使之垂直于直線AB，則此投影面一定也為一般位置平面，而與任一原有投影面不能構(gòu)成直角投影體系。為了解決這個問題，必須更換兩次投影面：首先使直線AB變換為一個新投影面的平行線，然后再變換為另一新投影面的垂直線。作圖過程如圖5-9所示。

平面的變換

平面是由不在同一直線上的三點(或其他幾何元素組合)決定的，因此在更換投影面時，只需把決定平面的幾何元素的投影加以變換，即可求得平面的新投影。

1.將一般位置平面變換為新投影面的垂直面

如圖5-10所示，要將一般位置平面變換為新投影面的垂直面，則所選的新投影面既要垂直于該一般位置平面，又要與舊體系中某一投影面垂直。為此，可將該一般位置平面內(nèi)的一條投影面平行線變換成新體系中的垂直線，則該一般位置平面必然隨之變?yōu)橥队懊娴拇怪泵妗?span lang="EN-US" style="font-family:"Arial","sans-serif"">

2.將投影面垂直面變換為新投影面的平行面

若要將投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻�，則需選新投影面與該垂直面平行即可（在投影圖上表現(xiàn)為新軸與該垂直面的積聚性投影平行）。作圖過程如圖5-11所示。

3.將一般位置平面變換為新投影的平行面

要將一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻�，必須更換兩次投影面。即先把它變成一個新投影面的垂直面，再變?yōu)榱硪粋�新投影面的平行面。其作圖方法如圖5-12和圖5-13所示。

應(yīng)用舉例

例5-1. 求△ABC與△BCD的真實夾角 (如圖5-14a)。

分析：觀察圖5-14b，當兩平面同時垂直于一個投影面時，在該投影面上的投影就反映出兩平面的真實夾角。要使兩平面同時變換為新投影面的垂直面，必須把它們的交線變換為新投影面的垂直線。因其交線BC為正平線，故只需要更換一次投影面，在V/H₁體系中將BC變換為垂直線，∠a₁c₁d₁即反映△ABC與△BCD的真實夾角。

作圖：

（1） 取X₁⊥b₁c_1;

（2） 一次變換求得θ角。

例5-2. 圖5-15a給出了兩輸油管軸線AB與CD的位置，今要在兩管距離最近處將它們連接起來，求連接點的位置及連接管的長度。

分析：我們把兩輸油管線AB、CD看作空間交叉兩直線，最短距離為其公垂線。

觀察圖5-15b，我們?nèi)魧�兩交叉直線之一(如CD),變?yōu)樾峦队懊娴拇怪本�，則公垂線KL必平行新投影面，其新投影反映真長，且與另一直線AB在新投影面上的投影反映直角。作圖(圖5-15a):

（1）、更換兩次投影面，即先將直線CD在V₁/H體系中變?yōu)?i>V₁面的平行線，再在V₁/H₁體系中變?yōu)?i>H₁面的垂直線，直線AB也隨之作相應(yīng)的變換；

（2）、過C₁ (亦即d₁)作k₁l₁⊥a₁b₁，k₁l₁即為公垂線KL在H₁面上的投影。根據(jù)k₁l₁再返回作圖，求出KL在H、V面上的投影(k l,k'l')。K(k,k')及L(l,l')為兩油管距離最近的連接點，k₁l₁ 表示連接管的長度。

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